เริ่มจากฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลมในระดับมัธยมต้น (ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก) เมื่อเราเผชิญกับมุมที่มากกว่า $90^\circ$ หรือมุมลบ สามเหลี่ยมมุมฉากในเชิงเรขาคณิตจะไม่สามารถใช้ได้อีกต่อไป ในจุดนี้วงกลมหน่วยกลายเป็นเครื่องมือหลักสำคัญในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ครอบคลุมมุมทุกประเภท
1. นิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใด ๆ
กำหนดให้ $\alpha$ เป็นมุมใด ๆ ซึ่งด้านสุดท้ายตัดกับวงกลมหน่วยที่จุด $P(x, y)$ ดังนั้นนิยามว่า:
- ไซน์ (Sine): $\sin \alpha = y$
- โคไซน์ (Cosine): $\cos \alpha = x$
- แทนเจนต์ (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
หากจุด $P(x, y)$ อยู่บนวงกลมที่มีรัศมี $r$ แล้ว $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$
2. ความสัมพันธ์พื้นฐานของมุมเดียวกัน
สืบพันธุ์โดยตรงจากสมการของวงกลมหน่วย $x^2 + y^2 = 1$:
1. ความสัมพันธ์กำลังสอง: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. ความสัมพันธ์ของผลหาร: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. ความสัมพันธ์ของผลหาร: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
1. รวบรวมพจน์ของพหุนาม: ตารางขนาด x² หนึ่งชิ้น แถบสี่เหลี่ยมขนาด x สามชิ้น และสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1×1 สองชิ้น
2. เริ่มต้นนำพวกมันมาประกอบกันในเชิงเรขาคณิต
3. พวกมันถูกประกอบเข้าด้วยกันอย่างลงตัวเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ใหญ่ขึ้น! ความกว้างคือ (x+2) ส่วนความสูงคือ (x+1)
คำถามที่ 1
เขียนเซตของมุมที่มีด้านสุดท้ายเหมือนกับมุม $60^\circ$ และหาค่า $eta$ ที่สอดคล้องกับอสมการ $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$
เซต $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; ค่า $eta = 60^\circ, -300^\circ$
集合 $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ$
集合 $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
集合 $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$；元素 $\beta = 60^\circ$
ถูกต้อง! มุมที่มีด้านสุดท้ายเหมือนกันต่างกันด้วยจำนวนเต็มของ $360^\circ$ เมื่อ $k=0$ ได้ $eta=60^\circ$ และเมื่อ $k=-1$ ได้ $eta=-300^\circ$ ทั้งสองค่านี้อยู่ในช่วงที่กำหนด
คำแนะนำ: รูปแบบทั่วไปของมุมที่มีด้านสุดท้ายเหมือนกันคือ $k \cdot 360^\circ + \alpha$ ลองหาค่า $k$ ที่สอดคล้องในช่วงนี้
คำถามที่ 2
ทราบว่า $\alpha$ เป็นมุมแหลม ดังนั้น $2\alpha$ คือ ( )
มุมในควอเทอร์แรก
มุมในควอเทอร์ที่สอง
มุมบวกที่น้อยกว่า $180^\circ$
มุมในควอเทอร์แรกหรือควอเทอร์ที่สอง
ถูกต้อง เพราะ $\alpha$ เป็นมุมแหลม นั่นคือ $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ ดังนั้น $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$ โปรดสังเกตว่า $2\alpha$ อาจเป็นมุมฉาก แต่ไม่จำเป็นต้องอยู่ในควอเทอร์ใดควอเทอร์หนึ่ง
โปรดระวัง: ช่วงของมุมแหลมคือ $(0, 90^\circ)$ หลังจากคูณสองแล้วได้ช่วง $(0, 180^\circ)$ ซึ่งรวมถึงควอเทอร์แรก ควอเทอร์ที่สอง และขอบเขตที่ $90^\circ$
คำถามที่ 3
ทราบว่าด้านสุดท้ายของมุม $\theta$ ผ่านจุด $P(-12, 5)$ จงหาค่า $\sin \theta$
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
ถูกต้อง! ก่อนอื่นคำนวณ $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$ ตามนิยาม $\sin \theta = y/r = 5/13$
计算 $r$：$r = \sqrt{x^2+y^2}$。正弦值的定义是 $y/r$。
คำถามที่ 4
(ตอบด้วยวาจา) กำหนดให้ $\alpha$ เป็นมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ใน $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ ค่าใดบ้างที่อาจเป็นลบ?
มีแค่ $\sin \alpha$ เท่านั้น
$\cos \alpha$ และ $\tan \alpha$
ทั้งสามค่าอาจเป็นลบได้
มีแค่ $\tan \alpha$ เท่านั้น
ถูกต้อง ช่วงของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมคือ $(0, \pi)$ ในควอเทอร์แรก $(0, \pi/2)$ ทั้งหมดเป็นบวก ในควอเทอร์ที่สอง $(\pi/2, \pi)$ (มุมป้าน) ไซน์เป็นบวก โคไซน์และแทนเจนต์เป็นลบ
คำแนะนำ: มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมอาจเป็นมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้าน พิจารณาเครื่องหมายของฟังก์ชันเมื่อมุมเป็นมุมป้านในควอเทอร์ที่สอง
คำถามที่ 5
ใช้วิธีห้าจุดวาดกราฟของ $y = -\sin x$ ในช่วง $[-\pi, \pi]$ จุดใดจุดหนึ่งไม่ใช่จุดสำคัญ?
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
正确。五点法通常取周期的四分之一个点，即 $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ 及其对应的函数值。$\pi/4$ 不是五点法的标准关键点。
วิธีห้าจุดเลือกตำแหน่งที่สำคัญซึ่งฟังก์ชันมีค่าสูงสุดต่ำสุดและจุดตัดแกน
คำถามที่ 6
ฟังก์ชันใดในต่อไปนี้ทั้งเป็นฟังก์ชันคี่และมีคาบ $\pi$ ( )
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
正确。$y = \sin 2x$ 是奇函数，且周期 $T = 2\pi/2 = \pi$。注意 $y = \tan x$ 虽然也是奇函数且周期为 $\pi$，但 $\sin 2x$ 在高中题目中更常作为此类型的标准答案，且 $y = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ 也是满足条件的（选项A更直接）。
ตรวจสอบสูตรคาบ $T = 2\pi/\omega$ และความเป็นคี่คู่ $f(-x) = -f(x)$
คำถามที่ 7
ไม่ต้องคำนวณค่า จงเปรียบเทียบขนาดของ $\cos \frac{2\pi}{7}$ กับ $\cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
เท่ากัน
เปรียบเทียบไม่ได้
正确。$\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$。由于 $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$，且余弦函数在 $[0, \pi]$ 上单调递减，故较小的角对应的余弦值较大。
คำแนะนำ: ใช้สูตรการเปลี่ยนรูป $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ และเปรียบเทียบขนาดของมุมในช่วงที่มีความเพิ่มหรือลดเดียวกัน
คำถามที่ 8
ทราบฟังก์ชัน $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ คาบที่น้อยที่สุดเป็นบวกคือ ( )
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
ถูกต้อง ตามสูตรคาบ $T = 2\pi / |\omega|$ ที่นี่ $\omega = 2$ ดังนั้น $T = 2\pi / 2 = \pi$
สูตรคาบ: $T = 2\pi / \omega$
คำถามที่ 9
หาค่าของ $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
ถูกต้อง ใช้สูตรย้อนกลับของสูตรมุมสองเท่า: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$ ดังนั้น $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1/4$
คำแนะนำ: ใช้สูตรมุมสองเท่า $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$
คำถามที่ 10
已知 $\sin \beta + \cos \beta = 1/5, \beta \in (0, \pi)$，则 $\tan \beta$ 的值为 ( )。
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
ถูกต้อง ยกกำลังสองทั้งสองข้าง: $1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$ เนื่องจากผลบวกมากกว่า $1/5 > 0$ และผลคูณเป็นลบ ดังนั้น $\sin \beta > 0, \cos \beta < 0$ (ควอเทอร์ที่สอง) แก้ระบบสมการได้ $\sin \beta = 4/5, \cos \beta = -3/5$ ดังนั้น $\tan \beta = -4/3$
提示：将等式平方求出 $\sin \beta \cos \beta$，结合 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 解出具体的正余弦值。
ความท้าทาย: การสร้างแบบจำลองตรีโกณมิติของล้อหมุน
การวิเคราะห์ปรากฏการณ์เชิงคาบจริง
ล้อหมุนหนึ่งล้อสูงสุดอยู่ที่ 120 เมตรเหนือพื้นดิน จุดต่ำสุดอยู่ที่ 10 เมตรเหนือพื้นดิน ใช้เวลา 30 นาทีในการหมุนครบหนึ่งรอบ โดยสมมติว่าล้อหมุนด้วยความเร็วคงที่ ผู้โดยสารเริ่มต้นนับเวลาตั้งแต่เข้าไปในรถโดยสารที่จุดต่ำสุด
คำถามที่ 1
จงหาฟังก์ชันรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของความสูง $h$ (เมตร) จากพื้นดินกับเวลา $t$ (นาที) ของผู้โดยสาร
คำอธิบายอย่างละเอียด:
1. แอมพลิจูด $A$: 半径为 $(120 - 10) / 2 = 55$m。
2. การเลื่อนแนวตั้ง $k$: 中心高度为 $(120 + 10) / 2 = 65$m。
3. ความเร็วเชิงมุม $\omega$: คาบ $T=30$ ดังนั้น $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$
4. เฟส $\phi$: เมื่อ $t=0$ อยู่ที่จุดต่ำสุด $h=10$ กำหนด $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$ เมื่อ $t=0$ ได้ $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$
รูปแบบฟังก์ชัน: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ หรือ $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$
1. แอมพลิจูด $A$: 半径为 $(120 - 10) / 2 = 55$m。
2. การเลื่อนแนวตั้ง $k$: 中心高度为 $(120 + 10) / 2 = 65$m。
3. ความเร็วเชิงมุม $\omega$: คาบ $T=30$ ดังนั้น $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$
4. เฟส $\phi$: เมื่อ $t=0$ อยู่ที่จุดต่ำสุด $h=10$ กำหนด $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$ เมื่อ $t=0$ ได้ $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$
รูปแบบฟังก์ชัน: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ หรือ $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$
คำถามที่ 2
หลังจากผู้โดยสารเริ่มหมุนไปแล้ว 5 นาที ระยะห่างจากพื้นดินคือเท่าไร?
คำอธิบายอย่างละเอียด:
แทนค่า $t=5$ ลงในสูตร:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$m。
สรุป: ความสูงคือ 37.5 เมตร
แทนค่า $t=5$ ลงในสูตร:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$m。
สรุป: ความสูงคือ 37.5 เมตร
คำถามที่ 3
ถ้ารถโดยสารหมุนด้วยความเร็วคงที่ หลังจากผ่านครึ่งคาบ ตำแหน่งของรถโดยสารเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อสะท้อนบนโปรเจกชันวงกลมหน่วย?
คำอธิบายอย่างละเอียด:
หลังจากครึ่งคาบ (15 นาที) มุมเพิ่มขึ้น $\pi$ เรเดียน บนวงกลมหน่วย หมายความว่าจุด $P(x, y)$ หมุนไปยังจุดสมมาตรกับจุดกำเนิดคือ $P'(-x, -y)$ ในฟังก์ชันตรีโกณมิติแสดงโดยสูตรการเปลี่ยนรูป: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$ ดังนั้น ถ้าเริ่มต้นอยู่ที่จุดต่ำสุด หลังครึ่งคาบจะต้องอยู่ที่จุดสูงสุด
หลังจากครึ่งคาบ (15 นาที) มุมเพิ่มขึ้น $\pi$ เรเดียน บนวงกลมหน่วย หมายความว่าจุด $P(x, y)$ หมุนไปยังจุดสมมาตรกับจุดกำเนิดคือ $P'(-x, -y)$ ในฟังก์ชันตรีโกณมิติแสดงโดยสูตรการเปลี่ยนรูป: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$ ดังนั้น ถ้าเริ่มต้นอยู่ที่จุดต่ำสุด หลังครึ่งคาบจะต้องอยู่ที่จุดสูงสุด
✨ ประเด็นสำคัญ
บนวงกลมหน่วยดูพิกัดดังนั้น$y$ คือไซน์ $x$ คือโคไซน์.บวกกำลังสองเท่ากับหนึ่งเสมอดังนั้นอัตราส่วนแทนเจนต์คงอยู่ตลอดกาล!
💡 坐标即函数值
จดจำว่า 'วงกลมหน่วย' เป็นแกนหลัก ค่าพิกัดแนวนอน $x$ ของจุดตัดระหว่างด้านสุดท้ายกับวงกลมหน่วยคือ $\cos \alpha$ ค่าพิกัดแนวตั้ง $y$ คือ $\sin \alpha$ ไม่จำเป็นต้องหารด้วยรัศมีอีก
💡 คำคมเกี่ยวกับเครื่องหมายในแต่ละควอเทอร์
“หนึ่งทั้งหมดเป็นบวก สองไซน์เป็นบวก สามแทนเจนต์เป็นบวก สี่โคไซน์เป็นบวก” คำคมนี้ช่วยกำหนดว่าเมื่อทำการหาราก (เช่น จาก $\sin$ หา $\cos$) จะเลือกเครื่องหมายบวกหรือลบอย่างไร
💡 โดเมนของการนิยามแทนเจนต์
因为 $\tan \alpha = y/x$，当终边在 $y$ 轴上时（即 $\alpha = k\pi + \pi/2$），$x=0$，此时正切值无意义。
💡 คำเตือนเกี่ยวกับหน่วยวัดเรเดียน
在应用泰勒公式或物理周期模型（$T=2\pi/\omega$）时，角度必须使用弧度制，不可直接代入角度制数值。
💡 วิธีวาดกราฟโดยใช้ห้าจุด
เมื่อวาดกราฟไซน์และโคไซน์ ให้หาจุดตัดแกนสามจุดและจุดสูงสุดต่ำสุดสองจุด แล้วเชื่อมด้วยเส้นโค้งเรียบๆ คล้ายคลื่น อย่าวาดเป็นเส้นตรงที่หักมุม